Vampiertegel vervangt de "Einstein".
Een enkele tegel waarvan alleen niet-periodieke patronen kunnen worden gemaakt: De Einstein-tegel kwam in maart 2023 in het nieuws. Maar nu is er een nieuwe, nog slimmer gevormde tegel die het ook zonder reflecties doet.
In maart 2023 haalde een wiskundige ontdekking ook het nieuws buiten de vakwereld: New York Times, CNN, Süddeutsche Zeitung en anderen berichtten over de 13-kantige geometrische vorm, die sommige mensen doet denken aan een hoed en anderen aan een T-shirt. Deze veelhoek kan worden gebruikt om een vlak te bedekken zonder openingen - en het resulterende patroon is altijd niet-periodiek.
Een vorm die aan deze twee eisen voldoet staat bekend als een Einstein tegel (de naam is afgeleid van "een steen" en heeft niets te maken met de beroemde natuurkundige). Wiskundigen waren al tientallen jaren op zoek naar zo'n tegel en sommigen hadden de hoop om er een te vinden al opgegeven. "Ik was vooral verrast door de eenvoud van de vorm," zegt wiskundige Michaël Rao van de École normale superieure in Lyon.
Bron: D. Smith et al.
De hoedentegel die in het voorjaar van 2023 werd gepresenteerd, had echter één nadeel: om het vlak zonder gaten te vullen, moesten reflecties van de 13-hoek worden toegestaan. "De grote vraag was of er een Einstein-tegel bestaat die niet gespiegeld hoeft te worden," legt Rao uit. Sommigen noemen zo'n vorm een "vampiertegel" omdat hij, net als het mythische nachtwezen, geen spiegelbeeld heeft. De ontdekkers van de hoedentegel, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan en Chaim Goodman-Strauss, hebben nu zo'n vampiertegel gepresenteerd in een as-yet-unpeer-reviewed paper op het preprint platform ArXiv.
Wederom is het een amateur-wiskundige die de vampiertegel vindt
Zoals het team ontdekte in hun vorige publicatie, door de randlengtes van de hoed te veranderen, kunnen andere tegelvormen worden gevonden die ook gatenloze trottoirs creëren. Toen de gepensioneerde drukkerijtechnicus David Smith een van deze tegelvormen uit papier knipte en ermee speelde, merkte hij iets spannends op: Toen hij de tegels aan elkaar legde zonder ze te spiegelen, leek er een gatloos, niet-periodiek patroon te ontstaan.
"Natuurlijk begonnen (Joseph Samuel Myers, Chaim Goodman-Strauss en ik) intensiever aan deze vorm te werken," schrijft de computerwetenschapper Kaplan op Mastodon. Na een paar maanden werk konden hij en zijn twee collega's hun vermoedens bewijzen: De betegeling die Smith onderzocht, staat alleen geen periodieke betegeling toe als je geen gespiegelde delen toestaat.
Bron: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss
De wetenschappers waren echter niet helemaal tevreden. Immers, als er gespiegelde versies van de nieuwe tegel worden ingevoegd, kunnen er ook periodieke patronen worden gegenereerd. Daarom veranderden ze de vorm van de 13-hoekige tegel en rondden de hoeken af om een nieuwe tegel te maken die meer op een puzzelstuk lijkt. Deze tegel, die ze "Spectre" noemen, kan alleen een vlak zonder gaten bedekken als er geen gespiegelde versies zijn toegestaan. En de gegenereerde patronen zijn onvermijdelijk niet periodiek. Volgens de onderzoekers hebben ze dus een vampiertegel gevonden: een coherente Einstein die geen spiegelbeeld nodig heeft om een vlak zonder gaten en noodzakelijkerwijs niet periodiek te bedekken.
Bron: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss
Omdat sommige experts niet blij waren met het feit dat de hoedentegel die in maart 2023 werd gepresenteerd, gespiegeld moet worden. "Het probleem is niet alleen dat hij gespiegeld lijkt," zegt wiskundige Michael Baake van de Universiteit van Bielefeld, "maar dat een van de twee versies - gespiegeld of niet gespiegeld - onvermijdelijk vaker voorkomt in een tegel dan de andere." Dit probleem heeft te maken met een speciale eigenschap van aperiodieke patronen: Wie op een aperiodiek betegeld vlak staat, kan aan het patroon niet aflezen in welk gebied van het vlak hij zich bevindt of wat voor soort betegeling het is - uit één Einstein kunnen oneindig veel verschillende tegelpatronen ontstaan. Omdat er echter hoedenparketpatronen bestaan met overwegend gespiegelde of overwegend niet-gespiegelde tegels, is het tenminste mogelijk om onderscheid te maken tussen deze twee varianten. Dit is echter in tegenspraak met de eigenlijke eigenschap van aperiodiek parket, waarbij geen enkele differentiatie mogelijk is.
De nieuw ontdekte Spectre tegel daarentegen lijkt aan alle eisen van een Einstein te voldoen: Het is een enkele doorlopende tegel die alleen maar geroteerd en verschoven wordt langs het vlak, waardoor een hiaatloos, altijd onregelmatig patroon ontstaat. En omdat er geen spiegeling nodig is, is het ook gemakkelijker voor tegelfabrikanten om de tegels voor een perfecte nerdbadkamer te produceren.
Maar de wiskundigen kunnen nog niet op hun lauweren rusten. "Het zou interessant zijn om uit te zoeken hoeveel zijden een Einstein tegel minimaal nodig heeft," zegt Rao. "Of dat een puur aperiodieke tegel ook een veelhoek kan zijn." Het nieuwe doel is daarom om de eenvoudigst mogelijke Einstein tegel te vinden. De jacht is geopend.
Spectrum van de wetenschap
Wij zijn partners van Spektrum der Wissenschaft en willen gefundeerde informatie toegankelijker voor je maken. Volg Spektrum der Wissenschaft als je de artikelen leuk vindt.
[[small:]]
Omslagfoto: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss
Deskundigen uit wetenschap en onderzoek doen verslag van de huidige bevindingen op hun gebied - deskundig, authentiek en begrijpelijk.
Van de nieuwe iPhone tot de wederopstanding van de mode uit de jaren 80. De redactie categoriseert.
Alles tonen